在关于狄拉克思想的研究中, 颇受关注的话题之一是狄拉克对物理学数学美的追求。狄拉克数学美思想的直接来源是相对论引起的数学美思想在物理学界的盛行。但鲜少有人挖掘到, 它最重要的支撑是狄拉克提出的一个重要的科学方法———“从纯数学出发去构造物理学”的方法得到了成功的运用。这个由狄拉克在1931年提出的物理学研究方法是物理学家首次由自发到自觉, 明确提出并改变了物理学从经验数据出发总结规律构造理论的做法。它贯穿了狄拉克物理学研究的始终并支撑了狄拉克越来越执着的数学美的思想。2005年, 狄拉克的科学方法被乔瓦尼·博尼奥洛 (Giovanni Boniolo) 和保罗·布迪尼奇 (Paolo Budinich) 运用于探讨数学在物理学中的作用问题, 并站在科学哲学的角度挖掘了它的深刻历史意义:“一次方法论上的真正的革命性变化”。那么, 狄拉克的方法论背后所蕴含的哲学含义到底如何, 为什么说它是一次方法论上的革命呢?需要我们进行深刻的分析。

一狄拉克科学方法论被发现的背景

2005年, 博尼奥洛和布迪尼奇在《数学在物理科学中的作用》一书中发表了题为“数学在物理科学中的作用及狄拉克的方法论革命”的文章, 其中提到了狄拉克1931年在论文“电磁场的量子化异常”中的一个表述:“目前物理学面临着需要解决的基本问题, 比如量子力学的相对论形式以及原子核的本质等。这些问题的解决可能要求我们对基本概念做出前所未有的激烈修正。这些变化会超出人们直接把实验数据形式化为数学语言从而获取必要的新思想的理智能力。因此, 未来的理论工作者将不得不以更加非直接的方式前进。目前可以提出的最有力的方法是运用纯数学的所有资源来完善和推广理论物理的数学形式, 数学形式构成了理论物理学存在的基础。在这个方向上取得每一个成功之后, 再去尝试用物理学实体的语言来解释这些新的数学特征。”[1]他们将狄拉克的这一表述称为“这是一次方法论上的真正的革命性变化”, 但“即使是在科学哲学和科学史家之中, 也很少有人明显认识到这一点”[2]87。

博尼奥洛和布迪尼奇把狄拉克的方法论称之为一场革命, 其出发点是探讨“数学在物理科学中的作用”。这个论题是在20世纪后半期科学哲学中“数学物理学关系”讨论复兴的背景下发生的, 从60年代尤金·魏格纳提出“数学在物理学中不合理的有效性”开始。魏格纳的“数学语言在表述自然定律时的适当性之谜是一项奇迹, 它是我们既不理解也不配拥有的奇妙天赐”[3]的迷惑, 经历了很多哲学家和物理学家的讨论, 时至今日仍然方兴未艾, 人们越来越深刻地看到了数学和物理学之间的交互关系, 也越来越深入地提出了哲学探讨的思路。

狄拉克的科学方法论及其带来的物理学成果, 无疑是数学和物理学紧密联系的典型例子, 也是影响20世纪后半期物理学方法论的最重要的因素之一。作为和爱因斯坦、魏格纳同时代的物理学家, 狄拉克同那个时代所有的物理学家一样, 看到了数学的非凡魅力与人们对此问题的困惑, 而他采取的措施则与众不同。那个时代的物理学家大都保持着务实的态度, 仍然从实验中寻找线索并且从现成的流行理论的零星知识和弱点中获得经验[4]。但狄拉克打破了传统的在物理学理论思想中建立起来并找到适合的数学框架之后着重于对数学美的追求的做法。他直接把“纯数学的构造”放在了物理学理论构造的基础位置, 并在数学取得成功之后再开始寻求物理学解释。他坚信数学是通往自然基本运行真相的捷径, 充满希望的数学可以孕育出基础物理。狄拉克的成功无疑是巨大的。1925年狄拉克就在《量子力学的基本方程》中引入了“泊松括号”, 应用对应原理, 将经典力学方程改造成量子力学方程。1927年, 为了描述量子力学中的某些数量关系, 狄拉克引入了δ函数。1928年狄拉克将狭义相对论引入量子力学, 建立了相对论形式的薛定谔方程, 即狄拉克方程。他的这些主要物理学成就, 无一不体现着“从纯粹的数学出发去构造物理学”的思想。博尼奥洛和布迪尼奇所关注的狄拉克的科学方法, 则是在1931年首次明确表述的[1]。

1939年, 狄拉克在《数学与物理学的关系》一文中再次谈到了这一方法。以我们今天的视角看, 此时的狄拉克已经基本做出了他在物理学上的主要贡献。此时回望自己的研究过程与成果, 自是不同于1931年的时候。1931年他的关注点更多是放在这一方法是否有效上, 而到了1939年, 狄拉克思考更多的是物理学和数学背后更本质的联系, 并进一步提出:“我们必须把自然的某些数学性质归结为一种性质, 这种性质是任何观察自然的人都不会怀疑的, 却是在自然的设计中至关重要的……走向统一的数学和物理学的发展趋势为物理学家提供了一种研究其学科基础的强有力的新方法, 这一方法尚未得到成功应用, 但我确信这一方法将在未来证明其价值。”[5]

正是运用这种方法, 狄拉克预言了磁单极子的存在并在后来的物理学发展中大放异彩。规范场论、大统一理论和宇宙学理论都预言了磁单极子的存在。当代的数学物理学家将之归结为磁单极子理论具有“更加深刻的数学结构”, 因此表示了“更加深刻的物理”[6]。而狄拉克同时代的物理学家, 能够接受数学结构比物理实体更为基础是一件非常困难的事。比如, 当海森堡看过由狄拉克方程推出电子自旋为1/2的文章时, 无论如何也没法理解这是一个怎样的过程。他甚至写信给泡利讲述自己的困扰, “为了不持续地被狄拉克所烦扰, 我换了一个题目做, 得到了一些成果”[7]。

博尼奥洛和布迪尼奇正是发现了狄拉克与同时代物理学家不同的地方, 并深刻地洞察到了其方法论背后的哲学含义:数学和物理学的整体性和狄拉克对数学公理通往物理学原理的路径的洞察, 因而提出了他们与之前所有的哲学家都不同的观点, “数学-物理学符号”的观点。

二狄拉克方法论革命的哲学内涵

在博尼奥洛和布迪尼奇的论文中, 狄拉克方法论革命的意义之一在于为科学哲学家重新解读“数学为何在物理学中如此有效”的问题提供了新的思路。哲学史上对数学在物理学中有效性问题的思考路线大致可以分为以下几种:柏拉图式的“数学是有效的, 因为世界本质上是数学的”、伽利略式的“在物理学中有效, 因为物理世界和数学世界有一种紧密的同构性”、贝克莱的“数学是有效的, 仅仅因为它是一个好的工具”、康德的“数学是有效的, 因为我们以数学的方式认知地建构了世界”、“数学在物理上是有效的, 因为由于数学的存在, 我们能够建构我们不能直接经验的物体的概念”等[2]76。相对而言, 博尼奥洛和布迪尼奇更倾向于一种避免任何强形而上学、强认识论和工具论的观点, 更多的是从科学发展史和物理学理论结构的角度来分析物理学中数学的角色和作用。他们的做法是, 不再把数学和物理学割裂对待, 而是把它们作为整体来进行理解。

博尼奥洛和布迪尼奇的数学物理学整体性的观点源于对“为什么数学会出现在物理学中?”这一问题的分析:从历史的角度看, 在寻求自然原理的准确性时, 必须对其进行数学化。因为只有数学才能在最基础的水平上提供由测量仪器产生的数字给出的精确度, 完成由“近似的世界”到“精确的世界”的转变。“因此从一开始, 数学和物理学就联系在一起了。”相对于目前建立在数学与物理学相互独立基础上的各种各样的数学物理学关系讨论, 博尼奥洛和布迪尼奇的整体性观点, 无疑具有特殊意义。至于如何认识作为整体的数学和物理学, 他们则借用了皮尔士符号学方法, 称之为“物理-数学符号”, 并且回答了“数学在物理学中的作用是什么?”的问题———数学化的物理作为一种整体的“物理-数学符号”, 连接了“我们想要描绘的世界 (对象) ”和“在认知层面对其进行阐释的解释者”[2]78。

在博尼奥洛和布迪尼奇看来, 物理-数学符号, 不仅仅是在历史语境中被人创造出来的产物, 只能对之进行朴素的实在论的理解, 它更是一种具有独立性的、具有推测性的整体结构。它不是物理学家捕捉物理世界的形式, 而是物理世界的精确镜像。基于这种整体的物理-数学符号我们可以重新审视物理学的结构和理论发展的过程, 而狄拉克的方法论革命让我们清晰地看到, 现代和当代的物理学理论作为物理-数学符号, 其物理学结构与传统的物理-数学符号不同的地方[2]85-86。

这里有很关键的一点。我们站在物理-数学符号的立场上重新思考物理学发展的范式:伽利略构造了第一个物理-数学符号, 不仅能精确描述, 而且能够预测一些现象的演变。伽利略研究的特点是从经验世界发生的事情开始, 试图推测出正确的物理-数学符号。这是一个提出暂时的现象学定律的过程, 博尼奥洛和布迪尼奇称之为演化定律。演化定律描述现象的时间演变, 可以通过实验检验 (如运动定律, 薛定谔方程的波函数解等) 。牛顿研究的特点是对现象以及暂时的现象学定律进行反思, 得到更一般的定律。博尼奥洛和布迪尼奇称之为框架定律。框架定律比演化定律更高一层, 可以将演化定律作为其解决方案 (比如经典力学的方程式、麦克思维方程、薛定谔方程等) 。在博尼奥洛和布迪尼奇看来, 物理-数学符号包含了三个部分:第一, 演化定律。第二, 框架定律。第三, 框架保护原理, 也就是具有形而上学因果关系的原理、对称性原理等, 比如诺特定理等[2]88。在狄拉克之前, 物理学理论的发展大都是从经验开始, 从演化定律上升到框架定律。但是, 狄拉克的方法带来了巨大的改变。

在1931年的论文中, 狄拉克首先指出, 物理学的稳定发展需要数学的不断进步和复杂化。这是数学物理学关系的发展中显而易见的一点。在这里值得关注的是狄拉克非常具有洞见力地看出了现代物理学中的一种改变:以往人们所认为的数学进步和复杂化往往建立在固定的原理、定义和基础之上。但是事实上现代物理学的进步要求的数学是在不断改变其基础并越来越抽象化的。非欧几何和非交换代数, 曾经被认为是人类理智的纯虚构和逻辑学家的消遣, 现在却被发现对于描述物理世界的一般事实来说是非常必要的。“看上去这种越来越抽象的过程在未来将会继续下去并且物理学的进展将会和数学基础上的公理的不断修正和泛化相联系, 而不是与某个固定基础上的数学的逻辑发展相联系。”[1]60数学公理的思考, 在以前被人们看作是纯数学的思考, 但是在狄拉克的方法中, 它们具有了物理意义。数学公理的改变及其在物理-数学符号的整体结构中带来的对物理世界更多认识的可能性关联了起来。物理学理论在此跳过了演化定律, 直接进入了框架定律。

也就是说, 在狄拉克之前, 人们认为从演化定律到框架定律, 是一个提升的过程。但是, 在狄拉克这里, 思考问题的方法产生了变化。量子力学和原子核理论的解决将要带来对基础概念的极大修正, 而这些改变如此之大以至于“要通过把实验数据直接形式化为数学语言, 来得到新的必要的观念, 这超出了人类理智的能力”[1]60。此时纯数学的介入和成功使得人们更多地发现, 纯数学的研究在某一时刻会与物理-数学符号挂钩。换句话说, 人们可能意识到他们正在研究的数学也有着指示的功能, 指示着世界上存在的某种东西。这样的话, 通过对纯数学进行反思, 我们就有了通往框架定律的直接通道。以这种方式, 数学思想就承担了可能的新物理数学图像的创造者的角色, 成为发现世界新现象的助因。

显然, 在认知内容上, 框架定律比演化定律更为丰富。事实上, 每一个框架定律都意味着对可能现象的无数演化规律的潜在知识。因此, 发现框架定律意味着扩大我们认识我们所处世界的能力。狄拉克方程就是这样。狄拉克的这种框架定律的主动运用, 是物理学史上一次巨大的革命, 也取得了巨大的成功。他在1928年提出狄拉克方程和狄拉克算子时就运用了这种法则。他是第一个在物理学上使用自旋几何的人。在博尼奥洛和布迪尼奇看来, 狄拉克方程就是一个典型的物理数学符号的例子, 而且是一个用纯数学得到的框架定律。它预言了一个新的演化定律, 预言了反物质的存在[2]90。

如果物理-数学符号是一个整体, 那么“数学为什么在物理学中有效”就是一个错误的问题。是物理-数学符号的符号、指示和象征作用让我们得以理解物理学家和物理-数学符号之间的关系, 以及物理学家与世界之间的关系。物理-数学符号作为符号的存在表明, 人们希望它与它所代表的世界是相似的, 但是一旦它被建构出来, 它就有了自主权。物理-数学符号具有指示的作用意味着赋予物理-数学符号以物理意义, 存在检查所赋予的物理意义是否真实成立的可能性, 也使物理-数学符号有发现新的物理实体的可能性。物理-数学符号的象征作用意味着, 不同数学的使用可能意味着采用了不同的对物理世界的解释。同时, 对于相同的物理状态, 可能拥有不止一个物理-数学符号, 同一个物理-数学符号也可能不止拥有一种数学[2]80-83。

三狄拉克方法论革命的历史意义

狄拉克方法论革命的历史意义主要体现在两个方面。

第一, 物理学理论构造方法方面。自伽利略-牛顿的研究模式开始, 通过实验观察和测量, 寻找一种以数学形式写成的演化定律和框架定律的方法, 就在物理学的各个领域取得了巨大的成功。在之后的200多年, 这种模式一直都是物理学研究的主要模式, 并且支撑着物理学家的物理学实在观。在这种以经验为基础的实在观中, 数学更多的是个工具, 没有实在的意义, 其重要性也仅限于物理学语言的地位。但是, 毫无疑问, 狄拉克对当时的整个物理学界都产生了极大的影响, 包括提出“数学在物理学中不合理的有效性”的魏格纳, 在他的文章中明确提出:“为显示数学概念在建构物理定律时的重要性, 试回想量子力学的公理, 它是由大数学家冯·诺伊曼明确地建立, 或者由大物理学家狄拉克隐含地提出的。”[8]早期完全反对数学实在观的爱因斯坦在后期也越来越强调对纯数学结构的强烈信念, 1933年在英国剑桥大学所做的斯宾塞演讲中, 他指出, 相信通过数学的构造能使我们发现物理概念和联系这些概念的定律。“我坚信, 我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律, 这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。”[9]

狄拉克把从纯数学出发构造物理学的研究方法在物理学的发展中明确树立了起来。狄拉克之后, 物理学方法大变革。狄拉克方法论除了狄拉克本人的践行之外, 现在已经成为粒子物理学研究中的一个基本方法。张会曾在《粒子物理学理论的方法论问题》一文中将其称之为“狄拉克模式”[10]。伴随着粒子物理研究对象远远超出了目前人类的检验范围, 传统的实验观察法已经难以为人们提供有效数据, 因此狄拉克方法在20世纪日渐兴起, 成为粒子物理主要的研究方式, 由该模式发展出来的理论非常多。比如标准模型的建立和希格斯粒子的预言及发现。

当代物理学的发展面对着极大的挑战。在量子引力的普朗克尺度下, 狄拉克方法被运用到极致, 大量新数学被发现成为指引物理学发展方向最重要的因素但却难以与实验衔接, 导致有些人认为超弦理论等前沿物理学理论只是数学游戏。在理论越来越超出实验范围的领域, 人们迫切地需要一种新的研究方法来继续探究物理世界。狄拉克方法论革命及其哲学分析让我们看到, 物理学不是数学游戏, 数学是现代和当代物理理论不可分割的一部分。通过抽象思维, 物理-数学符号成为通向框架定律的最好通道, 可能带给我们新发现的实体和现象。

其次, 在数学物理学关系的探讨方面。狄拉克方法论革命在数学物理学关系这一问题上无疑为我们提供了一个经典的历史案例, 表明“现代和当代的物理理论学本身就是物理-数学符号。它们不能分为数学部分和非数学部分”[2]86。并且展示了物理-数学符号作为一个独立的整体结构的推测性功能及其如何可以作为物理世界的精确镜像, 在物理世界和物理学家之间起到联结作用。这使得数学和物理学被割裂对待的传统视角受到了挑战。这种整体论的观点更加符合当代数学和物理学发展的历史事实和统一趋势。

纵观哲学界对数学和物理学关系的讨论, 大都把数学和物理学作为独立的两个学科, 把物理学的发展史作为数学不断介入物理学的过程进行研究。但是20世纪以后物理学几何化问题的探讨、数学对称性作为理论构建的原理之一越来越重要等现象使得一部分物理学家已经开始重新思考数学和物理学关系的问题。外尔、爱丁顿、费曼、彭罗斯、丘成桐等很多数学物理学家都认为数学结构在描述世界基本结构方面有着非常重要的作用, 甚至数学才是最本质的东西。在哲学家阵营中, 更多地是从科学史的角度关注近代以来数学在物理学中的应用, 比如尤里·马宁 (Yuri Manin) 认为, 当前数学与物理学关系表现在它们之间不断增加的重叠领域上, 在数学和物理学之间可以看到越来越多的相互学习、互为工具和技术转移[11]。格哈德·沃尔默 (Gerhard Vollmer) 则用结构主义的观点来解释数学的有效性:数学适合自然, 因为它是结构的科学;自然是结构的, 人们通过进化适应这个结构化的世界, 逐渐认识其中的一些结构, 用语言来制定一种非中观结构[12]。但无一例外, 这些探讨都是把数学和物理学割裂来看的, 在形而上学层面并不能真正回答数学为什么在哲学中有效这一问题。而物理-数学符号的整体性观点则回避了形而上学的问题, 并且可以解决一些解释上的困难。比如, 在引力的量子化中遇到的困难。这些困难推动了对抽象数学的追求, 但是当我们把这些因素考虑在内的时候, 它们可能是重要的发现的来源———物理学不是抽象的形式化的数学游戏, 而是在物理-数学整体结构下对世界和解释者进行关联的过程, 而这个过程中最终的目标是新的发现。最终出现的是关于经验世界的知识。

狄拉克方法的革命性, 在一般的科学哲学家那里并没有得到深入的挖掘, 人们更多地看到的是他的数学美的思想, 甚至于对其进行一些毕达哥拉斯主义或柏拉图主义的解读。但在21世纪科学发展的时代背景中翻回头来看的时候, 我们发现并非这么简单。21世纪对于物理学来说是一个革命的世纪:理论物理学前沿的研究超越了实验的范围, 理论构造的方法与实验物理学时代完全不同。我们从实验物理学时代继承下来的关于数学和物理学关系的看法也在进行着一场革命:从分离走向整体。这符合历史事实, 也将带来一场认识论的进步。

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（原载《科学技术哲学研究》 2019年02期)